Czy matematyka jest zbiorem tautologicznych konsekwencji

dowolnie przyjętego zbioru aksjomatów, jak wierzą filozofowie?

Po pierwsze ten zbiór aksjomatów nie jest ,,dowolnie przyjęty”. W

samym słowie ,,aksjomat” (od αξιωμα = pewność, oczywistość) nie ma

nic o dowolności. W polskim odpowiedniku brzmiącym ,,pewnik” też nie

ma niczego dowolnego. Dowolność aksjomatów jest koncepcją późną,

dopiero XX-wieczną.

Aksjomatyka Zermello-Fraenkla teorii mnogości czy aksjomatyka Peano

arytmetyki zostały przyjęte nie dowolnie, tylko dlatego, że są

,,lepsze” niż inne. W jakim sensie lepsze? — o tym potem. Systemy

aksjomatyczne są tanie, można ich natworzyć ile się chce, ale tylko

niektóre wchodzą w krwioobieg matematyki. Te ,,lepsze”.

Czy w takim razie matematyka jest zbiorem tautologicznych

konsekwencji ,,lepszych” systemów aksjomatów?

Czy praca matematyka polega na stosowaniu reguł wnioskowania do

aksjomatów i do ich konsekwencji po to, żeby uzyskiwać coraz to nowe

konsekwencje? Zapytajcie znajomego matematyka. Prawdopodobnie okaże

się, że aksjomat i regułę konsekwencji widział ostatnio na studiach na

wykładzie z logiki, a od tego czasu zajmował się całkiem czym innym.

Zróbmy prosty eksperyment myślowy. Przypuśćmy, że ktoś wykazał

sprzeczność w aksjomatyce teorii mnogości lub arytmetyki. Nie mamy

dowodu ich niesprzeczności, więc to może się zdarzyć; a są to

fundamenty, na których opiera się cała matematyka. Co się wtedy

stanie? Matematyka pozbawiona fundamentów zawali się, dawno

rozwiązane równania różniczkowe znowu przestaną być rozwiązane, metody

liczenia budżetu narodowego i przewidywania pogody staną się

niewiarygodne, komputery przestaną działać; a matematycy zaczną masowo

popełniać samobójstwa z rozpaczy, że dorobek ich całego życia legł w

gruzach…

Nic takiego nie zajdzie. Dla przytłaczającej większości matematyków informacja o

sprzeczności podstaw będzie ciekawostką, nad którą można się pośmiać, ale

potem trzeba wrócić do codziennej pracy, która z tymi podstawami nie ma niczego

wspólnego. A sprzecznoość niech tam sobie usuwają logicy i mnogościowcy, to

ich problem. Jego rozwiązanie będzie przypuszczalnie takie, że logicy i

mnogościowcy wystąpią z nowym systemem aksjomatów, tak dobranym, żeby

znalezionej sprzeczności już w nim nie było a cała budowla matematyki

pozostała nienaruszona. Dla większości matematyków ten nowy system również

będzie tylko ciekawostką.

Najpierw jest matematyka, a dopiero potem systemy

aksjomatyczne u jej podstaw. Pojawiły się one bardzo późno, dopiero

na początku XX wieku (geometria Euklidesa nie jest porządnym systemem

aksjomatycznym). I zostały tak zaprojektowane, żeby ex post

uzasadnić już istniejącą wiedzę matematyczną. Gdyby tego nie zrobiły,

zostałyby odrzucone.

Niektóre dziedziny matematyki mają po kilka różnych

aksjomatyzacji. Np. topologię można określać w oparciu o zbiory

otwarte, albo o zbiory domknięte, albo o otoczenia, albo o operację

domknięcia, albo o MS-ciągi. To są całkiem różne systemy, z innymi

pojęciami pierwotnymi i innymi aksjomatami. Ale wynika z nich ten sam

zbiór twierdzeń, więc nikomu nie przeszkadza wieloznaczność podstaw

topologii.

Do czego służą teorie aksjomatyczne, skoro nie są podstawą

matematyki?

Teorie aksjomatyczne są dogodnym narzędziem porządkowania myślenia w

danej dziedzinie. Pełnią więc rolę służebną. Aksjomatyka jest

,,dobra”, jeśli jest prosta i stosunkowo łatwo wynika z niej duży

kawał matematyki, potrzebny nam wcześniej, nim zaczęliśmy

aksjomatyzować. Najpierw matematyka, dopiero potem aksjomatyzacja.

Na czym opiera się więc matematyka, skoro nie na

aksjomatach?

A to jest dobre pytanie i wcale niełatwo jest na nie odpowiedzieć.

Ono nie należy do matematyki, raczej należałoby do filozofii, gdyby

tylko filozofowie nie mieli tych słynnych aksjomatycznych klapek na

oczach.

Matematyka opiera się na głębokim rozumieniu natury rzeczy. Myślenie

matematyka niewiele się różni od myślenia np. fizyka-teoretyka;

również matematyk bada rzeczywistość — rzeczywistość tylko pomyślaną,

ale nieposłuszną jego woli.

To jest mętna odpowiedź, a na lepszą mnie nie stać…

– Stefan

—

Zwalczaj biurokrację!